Юрий Агапов родился 31 октября 1924 года. В 1941 году был мобилизован в армию в связи с началом Великой Отечественной Войны и был отправлен на фронт, получил распределение в 162 артиллерийский полк с которым он прошел всю войну.
После демобилизации стал увлекаться хоккеем и в 1947 году начал играть в хоккей с мячом в Лесотехнической академии, где он учился и которую блестяще окончил в 1952 году. В 1948 году перешел на игру в хоккей с шайбой и вплоть до 1957 года играл в различных клубных командах Ленинграда.
Игра давалась Агапову с переменным успехом и уже начиная с 1958 года Юрий Иванович перешел на арбитражную работу. В качестве арбитра обслуживал матчи первенства СССР, принимал участие в судейской работе во время матчей Суперсерии 1972 года между Сборной СССР и командой, составленной из лучших хоккеистов НХЛ.
Четыре раза входил в десятку лучших судей сезона. Являлся главным хоккейным арбитром чемпионата Европы среди юниоров (1973) и неофициального чемпионата мира среди юниоров (1974). Был награжден орденами и медалями за сражения в Великой Отечественной войне.
Боевой путь Ю.И.Агапова в составе 162 артиллерийского полка